2020考研数学三真题试卷(还有很多学生没做出来)

　　先看第一小问：求A的值。

　　要求A的值，通常先求出A的一个三角函数值，再求A。

　　题干中告诉了一个关系式，但是关系式中的每一项都是三角函数的二次式，处理起来比较麻烦，这种情况下我们一般用“角化边”的方法来进行转化。

　　由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R得，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，代入关系式中，化简得到a^2-b^2-c^2=bc。

　　由余弦定理可得，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=-1/2，而A为三角形的内角，从而得到A=2π/3。

　　再看第二小问：求△ABC周长的最大值。

　　求最值是很多同学的软肋，下面介绍本题的两种常用解法。

　　 解法一：

　　题干已经告诉我们a=3，所以我们需要将b、c表示出来。由正弦定理以及第一小问的结论可得，b=2√3sinB，c=2√3sinC，所以周长就是a+b+c=3+2√3(sinB+sinC)①。

　　由于A=2π/3，所以C=π/3-B，则sinC=sin(π/3-B)=√3cosB/2-sinB/2，代入①中，整理得到a+b+c=3+2√3(√3cosB/2+sinB/2)，然后由辅助角公式，得到a+b+c=3+2√3sin(π/3+B)。由于0＜B＜π/3，所以当B=π/6时，sin(π/3+B)取得最大值1，即△ABC周长的最大值为3＋2√3。

　　 解法二：

　　由于边a已知，所以要求△ABC的周长的最小值实际上也就是求b+c的最小值。